其一，溯源华夏数学史，沿着我们的数学发展历史去梳理、寻找、发现线性代数、矩阵理论产生的根源；

　　其二，驳倒西方伪史有关于此、并抢夺冠名权的那套说辞，擦掉他们嫁接在中国数学历史上的“赝品”。

　　昨天那篇文章中，我们已经针对日本人关孝和首次提出行列式概念、理论，以及线性方程组求解理论提出了质疑，且指出了在早期的文献中在提及拉普拉斯时，没有所谓的“拉普拉斯公式”，所以，西方关于此二人的叙事存在很大的“造伪”嫌疑。

　　何谓矩阵？若按西史叙事，作为一种数学术语，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯莱（也译作凯利）首先提出。

　　通俗地来讲，矩阵就是是由一组数排成的矩形阵列，（两侧）通常用方括号或圆括号来表示。例如，下面这样的例子，就是二阶矩阵、三阶矩阵、多阶矩阵。下图中的矩阵，每个“大唐数字”（不是阿拉伯数字，是大唐数字，因为其源自华夏，文末会详述）大家都认识，左右两边各画一个方括号（或圆括号），相信大家都会，没有什么特别神奇的。

　　有人可能会问，在矩阵中，是否行数必须等于列数？显然不是。几何图形除了长等于宽的正方形，还有长不等于宽的“长方形”呢。所以，任意一个矩阵A可以是 m x n （即 行数 x 列数）的形式，假设行数为3（即m = 3）、列数为4（即 n = 4），则有如下矩形：

　　假设上述n阶矩阵A的前k行、前k列构成如下“子式”（只是矩阵A的一部分，相当于A有很多儿子，而它仅是其中之一，故称“子式”）：

　　由于这个叫“k”儿子占的地方比较大，可能算长子，所以就得给它一个名分，将其称作矩阵A（老爹）的k阶主子式。这就是主子式的判别法定义。

　　所谓方阵（Square Matrix），可以把它理解为正方形的模样，即长和宽相等，也就是它的行数等于列数，若用m来代表“行”，用n来代表“列”，便是 m = n。大家先记住 Matrix 这个英语单词，后面会根据它来展开分析，破除伪史。

　　二阶行列式，对于一个矩阵A而言，其列向量（即每一列的数值）可以在平面坐标系中构成一个平行四边形的面积。

　　列向量向量 y围成了一个平行四边形。x =（a₁₁，a₂₁），列=（a₁₂，a₂₂），如下图所示，

　　此时，若求平行四边形的面积，可选定任意一边为底，然后作出另一边到这条边的垂线，平行四边形的面积则等于底 x高，也可以把平行四边形看做是两个三角形，在已知三角形两条边（a、b）、两边夹角为C的情况下，根据三角形面积正弦定理公式 S = 1/2 x ab x sinC 去推导，计算过程大致如下：

　　这个结果正好与先前规定的运算规则相同（由于面积在通常情况下不能为负数，所以加了一个绝对值符号）。

　　对于三阶以上的行列式，其计算就要稍微复杂一些了。不过，利用几何代数，仍然可以总结出三条运算法则来。

　　性质一：某行（或某列）加上或减去另一行（又或另一列）的几倍，行列式不变。听起来有些拗口，本质上却很简单，就是想办法“消元”，找到二者的最小公倍数，令其乘以某个数后，二者变为相等，然后减一减，等于零。

　　性质二：某行（或某列）乘以（常数）k，等于k乘以此行列式。可以利用该性质来简便计算。

　　性质三：在某行列式中，当依次互换两行（或两列）顺序时，行列式变号（乘以负一）。

　　对于 3 X 3的某个矩阵A，图中以a（华夏以甲乙丙丁……等十天干代表已知数，西人据此替换成了abcd的形式）来代表某常数，该常数由于其在矩阵中位置的不同，所以具体体现的数值有所不同，故以右下角加注“行和列的序号”来表示，此举相当于经线、维线十字交叉，以纵横两个坐标数值来确定其在某几何图中的位置。

　　根据三阶行列式的定义可知，三阶行列式就是所围成的六面体的体积。一个六面体的体积，等于这个六面体的三个边所代表的向量的混合积，所以，对于上述矩阵A，其三个列向量所围成的平行六面体的体积就等于这三个列向量的混合积。

　　如果觉得“向量”这个名词难以理解，可以把它暂时当作带着方向箭头的“线条”，正是这些线条在平面或空间中通过箭头指引的方向，形成了一个个平面图形或立体图形。是平面图形就有面积，是立体图形，就会有体积。

　　由于叉乘大小反映的是两个向量的垂直程度，点乘大小反映的是两个向量的平行程度，根据叉乘和点乘的定义，上式应该不难理解，因为：

　　将代数与几何结合起来，通过对二阶行列式和三阶行列式的分析，可以确定行列式与面积、体积紧密相关，而一个矩阵也可以视为一次线性变换。

　　因此，分析线性变换的行列式，本质上可以视为分析线性变换前后其面积、体积的变化情况。

　　如下图所示，以D点为圆心，这个平行四边形由于旋转不同的角度形成了三个平行四边形的“分身”，而这三个“分身”的面积显然不变。或曰，其本体与另外两个“投影分身”相等。

　　在平面坐标系中，这个平面四边形以O点为圆心进行旋转，就像人在原地打转，其面积不会发生变化。

　　如前所述，一个平面四边形可以看作一个“矩阵”，发生旋转，就成了“旋转矩阵”，而任意一个旋转矩阵的行列式如下：

　　利用三角函数的相关性质进行计算，结果发现任意旋转矩阵的行列式恒等于【1】，恰好说明了“旋转角度的操作”不会改变矩阵（平行四边形或其他图形）的面积或体积。

　　从代数的角度来看，若一个线性变换（矩阵）的行列式大于1，那么反映在坐标系中的图形面积或体积就会相应扩大【效果相当于拉伸】；反之，若若一个线性变换（矩阵）的行列式小于1，其面积或体积就会随之缩小。

　　注意，上述线性变换，不论是旋转角度的操作，面积或体积不变，还是面积或体积相应扩大或缩小，其操作都是可逆的。也就是说，可以还原回去，就像人往前走了五步，然后退五步，可以回到原来的地方。

　　那有没有可能出现不可逆的情况，就像覆水难收那样，泼出去的水，收不回来了？

　　道理其实很简单，矩阵原来在坐标系中都是有面积或体积的，现在行列式等于零，等于面积或体积都消失了，如此情况，还怎么还原回去呢？

　　“……代数中种种记号之法，皆出於不得已而立者也。惟每立一法，必能使繁者为简，难者为易，迟者为速，而算学之境界，藉此得更进一层。”

　　通过第一篇文章《告天下学子书【上】：线性代数的中国起源，外星人是蛮夷》，我们知道早在大约两千年前，《九章算术》中就出现了线性方程组。《九章算术》卷八通过8个案例，使用2至5个联立方程，通过使用算筹布设“矩形阵列”，使用加法运算和乘积运算，演示了求解联立线性方程的过程。

　　通过第二篇文章《告天下学子书【中】：回溯华夏数学史，西方竟与东方频频撞衫》，我们知道元始1303年左右，“宋元四杰”之一的朱世杰在处理多项式代数时，在《四元玉鉴》中把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，发明了“天、地、人、物”四元术，即“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，解决了多达四个未知数的多项式方程组，并创造了非线性多元方程的消元法。

　　如下所示，三阶行列式还原后成为一个线性方程，看看这个方程，有没有觉得有点“麻烦”，甚至感觉又臭又长？

　　若按常规方法计算，把 X₁和 X₂两个未知数作等量代换，带入第一个式子中，整理后可得下面这个式子，这方程组写起来如何？是不是很麻烦？要知道，这还只是两个未知数。若是四个未知数，其繁琐程度还会翻倍。

　　那么，有没有办法可以将其简写，然后让计算方便一点呢？能不能把上面括号外的t₁和t₂留在括号外，写成竖式的形式？就像这样：

　　假如，把【a₁₁b₁₁】、【a₁₁b₂₁】按照一定的规则拆开来，重新排列，将上面的式子写成下面这样的形式，是不是看起来要简洁一些了？

　　那么，剩下来的工作，就是定义运算规则，以便让两个式样最终的结果相同（即便不相等，也得想办法在运算规则上下功夫，让二者相等）。

　　所以，矩阵的出现，本质的原因是由于方程组越来越复杂，需要一种简便化的措施，——最好能够简单书写。

　　来看一下三元一次线性方程组。这样的方程组计算起来有些麻烦，是否可以简化，提高效率？

　　有了上面的经验，我们可以将其简写成如下的矩阵形式，系数横着照抄，等式右边也照抄，但是把未知数x 、y 、z 竖着写，到时候两两相乘的时候，再还原回去，让它们写回去的结果，与原来的联立方程组相同即可。

　　还记得《九章算术》（四部丛刊景清微波榭丛书本，[晋] 刘徽 注、[唐] 李淳风 注）卷八中记载的第一个问题吗？

　　“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

　　今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？

　　秦九韶在其所著的划时代的数学巨著《数书九章》（道光辛丑[1841]版，现藏于哈佛大学燕京博物馆）“详解九章算法”中对这道题有这样一番阐述：

　　“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗。上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

　　答日：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。”

　　这是《九章算术》中的老题了，秦九韶在解题时，给出了自己的解法，而他的解法明显是使用了增广矩阵。

　　而这个方程组可以简化写成矩阵乘法的形式，系数照抄不变，两侧各加一个方括号成为“系数矩阵”，另将三个未知数从横向排列的方式改成纵向排列，其两侧也各加一个方括号，成为“三维矢量”矩阵，令二者相乘。

　　由于上述三个系数矢量构成了三阶系数矩阵，三个未知数构成了“三维矢量”，二者相乘，系数矩阵遇到三维矢量就转换成了一个新的三维矢量，该转换过程就被称作“线性变换”。

　　线性变换，除了会旋转，还会拉伸坐标系，令其变形。对坐标轴做变形，本质上就是在做线性变换。但是，由于这是一种“线性”的拉伸，没有那种“抛物线”、“曲线”的状态，因此不会卷曲或弯折坐标系。

　　此时，坐标系的点，表示的是 3 Sin（x）+5 Sin（2x），其组合波形就演变成了波浪形，——即傅里叶神父的级数。

　　倘若在此基础上，再增加一个维度，用Sin（3x）做 z 轴，从平面坐标系变成一个三维坐标系，情况就会变成下面这样的“一团乱麻”状，其组合波形

　　所以，您看，仅仅从《九章算术》和秦九韶《数书九章》的一道方程题目中就可以变出这么多“花样”来，是不是很神奇？

　　《九章算术》（晋刘徽 注·唐李淳风 注，四部丛刊景清微波榭丛书本）卷八“方程”中另有一个［吃鸡问题］，原文记载如下：

　　“今有令一人，吏五人，从者十人，食鸡十；令十人，吏一人，从者五人，食鸡八；令五人，吏十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？

　　令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

　　秦九韶《数书九章》（道光辛丑[1841]版，现藏于哈佛大学燕京博物馆）“详解九章算法”中也采用增广矩阵，类似于上述“三禾问题”类似。

　　在寻找秦九韶这本《数书九章》（又名《数学九章》）时，笔者也查阅了中国国家博物馆的馆藏。可惜，馆内收藏的只有清代龚自珍署检、王萱铃临，李锐、罗士琳校注的版本，而且仅有前九卷，整整少了一半（共有18卷），非常遗憾。

　　《数书九章》于淳祐七年（1247年）成书，分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。每类二卷，九问。凡八十一问，涉及历法制定、天象及降雨降雪量的测算、田域面积、山川城塔的测望、建筑物的修建、田赋户税、米粮征购、仓库容积、军营布置及军需供应、敌情侦察，以及海内外贸易、利息等方面的数学问题。所设问题之复杂超过前此任何数学著作，有的问题有八十八个条件，有的多至一百八十条答案，这太令人震惊了。

　　而且，在《数书九章》中，秦九韶不厌其烦地详细给出了每道题目的具体演算过程，其中的计算步骤和得数一目了然，还配有大量算筹图。

　　笔者也不相信这位英国数学大神会在“偶然拼凑”的情况下“靠碰运气”创造矩阵理论。

　　我们知道，数学要研究和发展，必须有一个潜在的前提，那就是借助“语言工具”，而且这语言工具还必须是书面的、成体系的。那种蹩脚的、犄角旮旯的的乡村土语肯定不行。如果不信的话，大家可以想想自己的方言，是不是有很多“地方口语”没法书写出来？无法书写，或书写的符号不通用、别人不懂，那就没有办法传达思想，更遑论承载高深的数学知识了。

　　有人可能会表示反对，认为函数是西方发明的，然后在清朝末年才经由“热心”的传教士翻译传入中国，再从英语Function翻译成“函数”的。

　　然而，1822年出版的马礼逊《华英字典》中却没有函数（Function）这个词。

　　按西方叙事，函数一词，早在17世纪便由德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716年）采用，用以表示变量χ的幂。而后，莱布尼茨和牛顿（1643-1727年）之间还发生了“微积分发明权”之争。

　　这本当时最全的英国字典中不仅没有函数（Function）一词，而且，其单词也是对译汉语，词义与如今不尽相同，缺少很多引申义，并不完善，语法也不成熟，说明其处于“相对原始状态”。要承载高深的数学知识，还是有一定难度的。

　　例如， 将Fully在1822年的含义与今日相比，可以发现，其词义发生了变化，从“足”、“知悉”、“察核”变成了“完全地、充分地、整整、全部地；足足”，词性也变成了副词。

　　此外，从对汉语“足”（足够、不缺）一词的英文解释中，也能看出那时的英文尚不完善，因为它将其对译为“without lack”（不缺）。

　　地图被对译成“of Landscapes”，而不是人们现在所熟知的“Map”；

　　人们现在常用的Cycle一词，本意是指“六十岁、花甲子”，对译为“Chines of 60 years”，经过西方后人删改后，与华夏有关的含义被抹除，现在只剩下了“周期、循环”之意，另外衍生出了“自行车、摩托车”等引申义。

　　本来，在1822年时，英国人还承认“六十甲子”、“六十进制”是中国的概念，但是现在被抹除后，这些西方人又开始通过巴比伦来抢夺中国的“六十进制”了。

　　以前的Demon，是指“神明、神鬼、神仙、鬼”，到了今天，被西人故意删改成了“魔鬼、恶魔、精力充沛的人”等含义，偏偏删除了与华夏有关的“神仙、神明”等解释，斩断了英语与汉语之间的联系。

　　在1822年马礼逊的这本《华英字典》中，Before（之前）与in time（及时）被放在了一起，表示同一个意思，后面对汉语句子的对译也显示出了英语的“稚嫩”。

　　上述种种，皆说明了一点：1822年的英语虽然已经初步成为一种书面语言体系，但仍旧不成熟。所以，在这种不成熟的情况下，没有产生可以表达高深知识的数学名词“函数（Function）”是合情合理的。

　　综上所述，由于1822年的英语尚显稚嫩，且马礼逊《华英字典》中没有函数（Function）这个至关重要的数学名词，故此1822年之前，西方数学中不可能出现函数。

　　那么，问题来了，没有函数，西方鼎鼎大名的科学家们在此之前又如何能发展微积分呢？

　　微积分中使用的函数有很多，例如，指数函数、对数函数、多项式函数、三角函数、反比例函数等等。没有函数，真的会严重影响微积分的发展。

　　而且，更令人头疼的是，线性代数也会用到微积分。没有函数，就没有微积分，没有前述二者，西方数学又如何发展线性代数，西尔维斯特、凯莱等人又如何去研究并发展矩阵理论？

　　实际上，微积分（Calculus）一词的情况，与函数（Function）的情况几乎一模一样。

　　拉丁文calculus，原来是石子的意思，古代欧洲人用石子来进行计算。后来“计算”、“演算”就叫做calculus。而“差的计算”变成了专门的术语“微分学”(英文differentialcalculus，德文Differcntialrechnung)。莱布尼兹的朋友、瑞士著名数学家约翰·伯努利（1667 - 1748年）主张把“求和计算”改为“求整计算”（calculusintegralis），后来成为专门术语“积分学”（英文integralcalculus，德文 Integralrechnung）。这便是西方微分学、积分学名称的来源，两者合称“微积分”，在英文中简称为calculus。

　　然而，笔者发现，在1822年版的马礼逊《华英字典》第58页中没有微积分（Calculus）这个词，推算（Calculation）这个词后直接就跳到了“锅”（Caldron）。所以，1822年之前产生微积分是值得商榷的。这也恰好佐证了微积分是李善兰所创之事实。

　　1965年吴金瑞自序的《拉丁汉文词典》第186页中，Calculus一词的解释有三种，其一是小石块、碎石；其二是棋子、象棋；其三是算盘、石子，引申义“计算”。

　　其含义中出现了“象棋”（不是国际象棋，而是象棋），又出现了算盘，显然，即便在拉丁语中，Calculus这个单词也与华夏密切相关。而且，从第三种含义的解释中可以明显看出，其计算之意，肯定来源于“算盘”，而绝不可能是石子。

　　正因为这层关系太过明显，所以到了1988年，商务印书馆出版的谢大任主编《拉丁语汉语词典》中，Calculus这个单词的解释就发生了删改，斩断了它与华夏之间的联系。

　　大家仔细看看，1988年谢大任主编的《拉丁语汉语词典》第76页，有关Calculus的解释变成了：小石子，游戏用小石块，选举用的石子，计算用的石子，计算、计数，结石病。

　　对于上述情况的矛盾，唯一合理的解释，就是函数、微积分并不是西方发明的，而是清朝数学大家李善兰（1811-1882年）首创并首先定义的。其后，才通过墨海书馆翻译至国外，而后，英语根据中文的“函数”、“微积分”分别创造了“Function”、“Calculus”等相关词汇。

　　李善兰出生于1811年，至1822年时，他才11岁，尚未成年。此时，距1852年前往上海拜访墨海书馆的英国伦敦会传教士麦都思、伟烈亚力等人还得再等上30年。

　　所以，1822年英国伦敦会传教士马礼逊的《华英字典》中不可能出现“函数”、“微积分”一词。

　　1872年，诺亚韦伯斯特公司出版了一本英语字典《A dictionary of the English Language》，其第95页中出现了此前的英语字典中都不曾有过的微积分（Calculus）单词，其解释为：一种数学计算方式，一个数学分支。

　　这个时间点，恰好在李善兰于1852年前往上海拜访英国传教士、且在墨海书馆供职七八年之后。好巧好巧。

　　不仅如此，在这本英语字典第305页也出现了此前从来不曾有过的函数（Function）一词，其解释第三条是专有数学名词，大意为“一种数量与另一种数量密切相关，如果后者发生变化，将会相应影响前者发生变化。从属量可以称为另一个的函数。”

　　李善兰没有去墨海书馆供职前，英语字典中就没有函数、没有微积分；李善兰去墨海书馆供职之后，英语字典中的函数和微积分就出现了。

　　接着，笔者在这本1872年的这本英语字典第452页找到了单词Matrix，此时这个单词还没有数学名词“矩阵”的含义，它只有两个解释：一为子宫，二为模具。联系上下文可以看出，此时的Hence并不是今天的含义“因此”，而是可以塑形或修改形状的“模具”。

　　据此，不难推断，西方所谓的矩阵理论（不是中国的矩阵理论），其出现必定晚于1872年。

　　由此可见，英国数学家西尔维斯特1850年将矩形阵列命名为“矩阵（Matrix）、1857年英国数学家凯莱发表有关矩阵理论的论文”，皆是伪史，皆是西方后人托古，不足信也。

　　没错，他与李善兰、王韬、徐寿、徐建寅等人一样，也在英国伦敦会创办的墨海书馆效力，谓之“秉笔华士”。

　　华蘅芳（1833-1902年），字若汀。清同治七年（1868年）6月，江南制造局内开设翻译馆，华蘅芳专门负责算学和地学领域西方科学技术书籍的翻译。不过，传教士们都有“惊人”的记忆，尽管说着蹩脚的汉语，但却能“口译”（背出）几千本西方书籍，每人“口译”（背出）几十本、几百本“没有原本的西方书籍”都不是什么难事。

　　同治十二年，华蘅芳与西方传教士傅兰雅共同翻译《代数术》25卷；清光绪三年（1877年）合泽英·海麻士《三角数理》12卷；光绪四年合译《微积溯源》8卷；光绪五年合译英·伦德《代数难题》12卷；光绪十四年合译英·白尔尼《合数术》11卷；光绪二十二年合译棣麽甘《决疑数学》10卷（这是第一部“被译成中文”的概率论专著）；光绪二十五年合译《算式解法》14卷。

　　光绪八年，华蘅芳自刻刊印了《开方别术》1卷、《数根术解》1卷、《开方古义》2卷、《积较术》3卷、《学算笔谈》12卷、《算草丛存》4卷，研究的内容涉及勾股定理、方程等。在《积较术》中，他讨论了有限差分法，提出了两种计数函数和互反公式。

　　1990年，纪志刚在内蒙古师大学报【自然科学汉文版，1990年第2期，第46-51页】发表了一篇名为《华蘅芳〈积较术〉的矩阵算法思想》论文，分析并讨论了该算法思想，认为华蘅芳“乘表相加”算法是中国传统数程序化特点的发扬和新创。

　　本文探讨了华蘅芳《积较术》中所蕴含的矩阵算法思想,认为华蘅芳的乘表相加算法是中国传统数程序化特点的发扬和新创.

　　纪志刚在对华蘅芳《积较术》数学方法的分析和研究中发现，基于独特的差分定义，华蘅芳构造了一个与牛顿有限差分公式完全不同的差分体系，针对各种数表的使用，华蘅芳设计了一种”乘表相加“的计算方法。算理分析表明，这一算法与近代矩阵乘法一致。

　　该论文发表题为《华蘅芳〈积较术〉数学方法分析》，发表于《自然科学史研究》2000年第1期，第40页。

　　此外，纪志刚又在1996年发表了另一篇研究论文，题为《华蘅芳的方程轮研究》，通过对《诸乘方变式》《开方别术》《开方古义》等著作的研究，阐述了清末数学家华蘅芳（1833-1902年）在方程变换理论、整系数数值高次方程求根方法，及其对“开方作法本源”的新探索等方面所作的出色工作，从而进一步拓展了清代数学家关于方程论的研究领域，详见《自然科学史研究》 1996 年第 3 期 第239 - 247页, 共 9 页。

　　其实，华蘅芳算是经过李善兰点拨的徒弟。早在李善兰创立“李善兰恒等式”时，就已经用到了“矩阵技巧”，从孙熙椿、袁南桥《形式矩阵技巧的应用——李善兰恒等式的初等证明》一文中便可见一斑，该篇论文刊载于《江西师范大学学报：自然科学版》（1993年第2期，第97-98页，共2页）。

　　需要特别指出的是，从形式上简化的线性方程组有没有解、有多少组解，引申出了秩和增广矩阵的概念。

　　当代数与几何结合，矩阵在图形和空间的研究中渐渐被赋予更多内涵，例如，在一个二维平面上如何画出三维的立体效果图（包括透视）。所谓的“施行仿射变换”，早期只是考虑如何将一个圆变成椭圆，以便让它在平面上显得更加立体。但是，再将圆变成椭圆的过程中，需要定量拉伸，而这需要精密计算。

　　恰好，李善兰对天体椭圆轨道运动的解算法问题进行了研究，著有《椭圆正术解》二卷、《椭圆新术》一卷和《椭圆拾遗》三卷。《椭圆正术解》是对他的好友徐有壬所著《椭圆正术》一书的解释。而李善兰也正好在英国伦敦会传教士开办的墨海书馆供职了七八年。

　　众所周知，华夏文化在看待某个事物时，都是着眼于全局，既考虑整体的变化，也考虑局面的变化，这是一种整体性的思维模式，或曰整体论。

　　作为华夏文明的次生文明，西方文化却与之相反，往往只强调局部和细节，头疼医头脚疼医脚，忽略整体协作的效果。

　　如前所述，线性代数，就是研究如何利用一些基本元素，通过加法运算和数乘运算，生成一个平面或空间。而这正好涉及到了两个不同的世界观：还原论和整体论。

　　我们知道，一台光刻机、一架飞机，是由很多零部件组成的，一个动物，是由无数个细胞组成的，还原论认为，如果想研究整体的性质，只需要把每一个部分的性质研究清楚，而后加总起来就可以了。

　　例如，你手里有一张面额为100的人民币，你去找人换钱，换了两张50元的纸币，然后把两张50元加在一起，仍旧等于100元。在这种情况下，100元的“整体”等于两张50元的“两个部分”相加。你拿这两张50元的纸币，还能换回一张100元的人民币，可以“还原”回去。

　　西方托古的牛顿、拉普拉斯（机械决定论）都是还原论的典型代表。18世纪法国耶稣会牧师和圣奥古斯丁宿命论教义的信徒、医生、被西方后人美誉为哲学家的拉美特利（Julien Offray de LaMettrie，1709-1751）也是这方面的代表人物，其代表作为《人是机器》。

　　由于事物往往都比较复杂，不能简单地机械加总，而要考虑每个部分之间是否存在联系和影响。例如，中医就认为五脏六腑皆有联系，肝胆相照，五脏与五官有对应关系，肺开窍于鼻，与大肠相表里。

　　又如，100个红球和100个白球，如果只是简单加总在一起，它们就是200个球。但是，假如100个白球组成了一个白色的背景，而100个红球通过一定的排列组合，在这个白色的背景上排成了一个数字“5”，那它就向人们传达出了额外的信息。

　　所以，当各部分组合在一起时，它们会相互协作并互相影响，产生一些新的性质。这就是整体大于部分相加之和的理念。

　　有意思的是，时代发展到今天，西方终于有人逐渐意识到了问题所在，认为万事万物有的可以还原，但有更多的复杂事物却不能，必须以整体论来看待，研究其整体性质。在天气预报中，光去研究一个个气体分子的运动轨迹，并没有多大的意义，而需要研究云朵、云层的整体性质，看看这一大团云以“整体”的性质究竟飘向何处，会在哪里遇冷，凝结成雨。

　　有鉴于此，20世纪后，便陆续出现了一些基于整体性研究的新思想，如系统论、控制论、信息论、突变论、协同论、耗散结构论等等，即“老三论”与“新三论”。

　　例如，f(a+b) = f(a) + f(b)，a + b的性质就等于 a 的性质 加上 b 的性质。同理，f(ka) = kf(a) 【k为常数】，k个a的性质等于每个a的性质乘以k。上述两个运算，就是加法运算和数乘运算。

　　因此，所谓线性性质，大致可以理解为在加法运算和数乘运算下，保持不变的那些性质。

　　假如，a + b 后发生了变化，其性质不等于 a 的性质加上 b 的性质，又做何解？

　　那它就变成了非线性的东西，二次函数 f（x）= x² 就是一个非常典型的代表。把 x = a + b 代入上述函数，则有f（x） = （a + b）² = a² + b² + 2ab，显然结果中不只有 a 和 b，还多了一个二者结合后的产物 2ab。也正因为如此，在线性代数中只有一次方，没有二次方、三次方，或高次方。因为一出现彼此结合的交叉项，就不再是原来的“线性性质”了。

　　大学课程中，一般会学习空间解析几何，把二维平面图形推广至三维，便产生了双曲面、抛物面等等。这些图形所涉及的方程有个共同点，就是所有项都是平方项，这便是二次型的最初来源。

　　任何一个二次型，都可以经过非退化的线性替换，化成标准型或规范型。只要它是一个高维空间中的二次曲面，哪怕其方程中存在交叉项，长得有点“歪瓜裂枣”，但也可以通过非退化的线性替换，把它拉伸一下，挤一挤，又或转一转，让它渐渐向标准型、规范型的抛物面或双曲面类图形靠拢。

　　有非退化的线性替换，就有退化的线性替换。为了便于理解，可以将“退化的线性替换”视为“降维处理或降维打击”。在一个平面坐标系中，X轴与Y轴十字交叉，且垂直，此时，若转动Y轴，将其旋转90度，则两条坐标轴会重合，可以将此“替换过程”理解为“降维处理”，从二维变成了一维。

　　所以，非退化的线性替换，就是不能减少维度的数量，原来是三维的，最终的结果也得是三维，不论如何拉伸、旋转、变形，都不能减少维数。

　　正定二次型化成规范型后，每个平方项前面的系数都是1，此时，它就变成了一个标准的球面。

　　该方程在平面坐标系中是一个二维平面上的单位圆，其中心位于原点，半径为1。在在三维空间中，它就成了一个圆柱体，一个无限长的圆筒状。而在高维空间中，它表示的就是一个标准的球面。如果不是规范型，而是标准型的话，则其前面的系数就不一定是正一（+1），有可能就是椭球面。

　　如果不是正定二次型，有的平方项前面的系数就可能是负一（-1）。在平方项系数出现负一（-1）的情况下，该图形就不是封闭的，而是开口的。如，x²-y²=1，就是有开口的双曲线。

　　如果升级维度，在空间解析几何中引入变量 z，并且在方程x²-y²=1中没有 z 变量，即表示每一个与xoy面平行的面上均为双曲线。故此，在空间直角坐标系中，其代表的图形为一个双曲面。

　　所谓正定二次型（或正定矩阵），其对应的就是高维空间中没有开口的“封闭椭球面”。半正定矩阵化成标准型后，有的项前面变成了0，剩下的是正一（+1）。有的项前面变成0，本质上相当于变量的个数减少，效果等同于维数降低，从四维变成三维，又或从三维降为二维。那它就可能从三维空间中的一个标准立体球面，降维变成了平面上的一个“圆”。因此，半正定二次型表示的就是正定二次型的一个截面。

　　“假传万卷书，真传一句话”，特征值表征的就是化完后标准椭圆不同长轴的长度。此乃特征值最重要的用途之一。

　　因为研究二次型最重要的核心工具是“矩阵”，而“矩阵”是线性代数的核心概念。

　　1、线……）不是阿拉伯数字，这个数字是中国数字，笔者更愿称其为“大唐数字”。

　　《雪泥鸿爪朔数源》一书在2004年再版，内容大致和92年版相同，但增加一篇她在2002年在北京召开的国际数学史大会上，在荣获凯尼斯·梅奖之后的致谢演讲，题为《中国古代的数学及其对世界数学的影响》（Ancient Chinese Mathematics and its influence on World Mathematics）。

　　经蓝丽蓉教授的考证，花拉子米在《算法》一书（根据乌兹别克文本同时参考俄文本译出的中译本，其实只是在大唐学习时留下的一本课堂笔记而已）中，所言能用“九个数码”表示任何数字的宏大叙事，其实就是中国算术、中国算筹。

　　2、线性代数中可能使用三角函数吗？是的。旋转矩阵也可能会用到。那么，三角函数来源于哪里？

　　三角函数来源于华夏的割圆八法，这一点确凿无疑，详见《托勒密大作又露破绽，不懂就是不懂，三角函数改了名，依然被发现整个体系全部源自华夏》。

　　3、线性代数的矩阵思想、线性方程组、消元法、矩阵理论（包括矩阵乘法和方程论），最初来自于哪里？

　　20世纪30年代，中国数学家陈省身等人提出了“向量空间”的概念，并将向量组的秩作为向量空间的一个重要性质进行研究，其研究成果对于现代线性代数的发展产生了深远影响。

　　20世纪50年代，中国数学家吴文俊等人提出了“线性空间”的概念，并将矩阵作为线性空间中的一种特殊形式进行研究，其研究成果对于现代矩阵理论的发展产生了重要影响。

　　虽然文章很长，估计也不会有太多人看，但还是花费了许多精力和心血，熬了好几个夜才努力写完，不为别的，就是不想有朝一日，我泱泱华夏走上苏联教育灭国的道路。

　　详见：【上篇】从苏联教育亡国来看文武双全、冲锋陷阵的郭沫若为何被黑出天际

　　本人计划将《明珠蒙尘：鲜为人知的华夏科技与文化》（约20万字）付梓出版，如果有人感兴趣，可以留言加微信，然后拉个群，统计下第一次印多少本比较合适（与出版方签订合同后，条件允许，可能预售）。倘若此次顺利，则继续将《海上忧思录》三册、《揭开西方伪史虚惑的面纱》（可能改名）四册付梓刊行。

　　在上下五千年的历史长河中，从古至今，中国人民用自己的劳动和智慧创造了多不胜数的科技发明，涌现出了无数能工巧匠和勇于实践的科学家。

　　本书引经据典、以翔实论据重点介绍了源自中国的诸多发明创造，包括但不仅限于望远镜、照相机、显微镜、留声机、温度计、自行车、计算机、钢琴、全世界第一架具有现代意义的飞机等等。不仅如此，就连扑克牌、大富翁等游戏都是源自中国的发明。

　　此外，书中还详细介绍了一些长期被忽略的华夏先辈，如甘德、石申、唐顺之、朱载堉、黄裳、黄嘉略等等，详细介绍了他们对于天文历法、物理、音乐、语言等诸多方面的贡献以及世界历史的影响。

　　中国不仅是文明古国，更是自古以来就学以致用，一直走技术路线的“科技强国”。这可能与我们近代百年落后后形成的“闭关锁国”的落后形象是大相径庭的。

　　希望通过《昆羽继圣》四部曲梳理的华夏历史文化加强自身修养、提高认识，以抵御外来糟粕的侵扰（上古至宋代）【微信读书、当当、掌阅（华为手机阅读）、起点、知乎、QQ阅读】；

　　希望通过《明朝这些事：被抹去的那段波澜壮阔的历史》，以及西史辨伪系列破除迷云，唤醒更多的人，认清这个世界近代三四百年的历史（明代至清末）；

　　希望通过科幻小说《灵能4996》六部曲在现实的科技基础上铭记近代屈辱历史，向科幻高地进发，展望未来，塑造中国屹立于世界的崭新形象，打造中国人宏大的科幻宇宙，让更多的人看到文化与科技引领的方向，走出一条属于中国的人类之路（当下至未来）。

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　　财联社2月12日电，荷兰上诉法院命令荷兰政府在7天内禁止向以色列出口F-35喷气式飞机零部件。

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